1. Implicaciones de los teoremas de incompletitud de Gödel en la ciencia económica

Víctor Manuel Peralta del Riego^*
Santiago Sánchez Fernández^**

DOI: https://doi.org/10.52501/cc.202.01

Resumen

No siempre sabemos qué efectos prácticos tienen algunos teoremas de la lógica, la metalógica y el resto de las ciencias formales. En el caso de la incompletitud de la aritmética que demostró Gödel a inicios del siglo pasado, aunque se han tratado de extraer una gran cantidad de implicaciones prácticas, extrañamos un análisis para la economía como ciencia y la economía como ciencia aplicada (finanzas, administración, contabilidad, administración pública, comercio, mercadotecnia, etc.). No es que no haya trabajo ya publicado en este sentido, pero parece que no hay un abordaje general. Por ejemplo, ¿se aplican los resultados limitativos de Gödel a la economía por el uso que hace ésta última de la aritmética y la lógica o se aplican por otras razones? ¿Hay alguna razón metafísica compartida entre las teorías formales en que la incompletitud de Gödel funcione y los agentes económicos o las teorías que usan tales agentes? Hemos encontrado que Doria (2017), Becchio (2017, en Doria, 2017), Al-Suwailen( 2017, en Doria, 2017) y Rosser (2012), por ejemplo, se tratan los efectos de este resultado científico en la ciencia económica por la vía del uso de la aritmética en ella. Pero para la economía aplicada, es notable la baja cantidad de publicaciones, tenemos a Dembinski (2012) y a Maymin (2011), quizá los más interesantes, y algunas aplicaciones del teorema en ciencias de la computación para finanzas. También hemos encontrado esfuerzos descriptivos y analíticos sobre la relación formal del lenguaje matemático con la ciencia económica como lo hace Linsbichler (2021). En esta ponencia haremos una revisión somera del estado de la cuestión y, en donde notemos carencia de trabajos sobre el asunto, ofreceremos algunas intuiciones sobre dónde podría haber implicaciones. Encontramos que haciendo un análisis integral de los objetivos de la ciencia económica, de los agentes económicos, de la ciencia de la lógica y la aritmética, la incompletitud de Gödel parece separar de forma tajante e irresoluble la certidumbre (de la demostración) y la verdad, asimismo, la planeación y la satisfacción, y otras tensiones entre valores que son casi tan impactantes como lo es la incompletitud de Gödel.

Palabras clave: economía, Gödel, lógica.

Introducción

Aunque el efecto histórico de un resultado científico como el de los teoremas de incompletitud es muy interesante, no será el enfoque principal de este artículo. Algunos economistas parecen haber recibido bien y pronto el resultado publicado a inicios del siglo xx por Kurt Gödel, aunque en otros contextos, la existencia de este descubrimiento podría decirse que quedó predominantemente ignorado. Para este estudio, las implicaciones que nos

interesan son —independientemente de si fueron reconocidas o no— aquellos efectos a nivel conceptual que la incompletitud de la aritmética ha tenido en la economía. Esta investigación tiene por interés el de los efectos conceptuales (en palabras de Reichenbach, diríamos contexto de justificación) más que los históricos (contexto de descubrimiento y aplicación del mismo). No obstante, esta exploración es parte de un primer momento, buena parte de lo que leemos aquí es producto de una revisión de la literatura publicada con énfasis, eso sí, en los efectos que a nivel conceptual tendría la incompletitud de la aritmética y, en especial, aquella del tipo que descubrió Gödel.

La revisión de la bibliógrafía es sólo una parte de lo que haremos. La otra parte consiste enrevisar de forma somera algunas de las ideas que subyacen tanto a la incompletitud de Gödel, sección dos de la ponencia, como a algunas de las aplicaciones del mismo resultado en la economía y en la ciencia (Economía) y de la economía como un quehacer cotidiano (economía, con e inicial, minúscula).

En el tema de la incompletitud de aritmética que afecta a la Economía (como ciencia), encontramos en la literatura casi exclusivamente resultados negativos. En la sección donde tomamos en cuenta los efectos que los expertos atribuyen a este teorema en el quehacer cotidiano de las actividades productivas (economía), vemos que a los teoremas de incompletitud de Gödel se les ha entendido de formas variadas y relevantes de manera interesante. Por un lado, cómo es que tales resultados limitan algunas técnicas de aplicación cotidiana comprobada en la práctica de la mejor forma disponible (como el caso de la teoría de juegos), por el otro lado, vemos que hay quienes comprenden la incompletitud de estos sistemas como un defecto de su natural instrumentalidad, limitante que no tiene el ser humano, una criatura que es capaz de darse a sí misma un fin y que, debe tratar a sus semejantes como iguales, no instrumentos, sino seres dignos.

Finalmente, en la sección de conclusiones hacemos explícita algún análisis que llamamos optimista. El fenómeno de la incompletitud de Gödel, más allá de las limitaciones que nos impondría, podría depurar nuestras concepciones y abrir nuevas perspectivas, como que el ser humano es un ser capaz de trascender los límites de la computabilidad, quizá esta es evidencia de nuestra capacidad intrínseca de crear y superar una familia fuerte de limitantes metafísicas.

Incompletitud gödeliana de la aritmética

Aunque parece trivial, pensar que una de las ciencias más amplia y productivamente formalizada —mecanizada, en cierto sentido— podría ser sustituida por calculadoras y computadoras de todo tipo, la realidad se muestra diferente. Algunos— sobre todo pedagogos y expertos en educación— afirman que el conocimiento matemático, en especial el aritmético, es lineal, mecánico. Pero sabemos por el fenómeno de la incompletitud de la aritmética probado por Gödel, que incluso el sello distintivo de su aplicación en aritmética a casos individuales, sean afirmaciones (hipótesis, conjeturas, etc.) o a casos prácticos (programas o algoritmos) ambos, requieren del genio humano.

La incompletitud probada por Gödel consiste en una familia muy grande de sistemas formales capaces de representar demostraciones sobre aritmética. Una condición importante es que podamos expresar y demostrar afirmaciones en una cantidad infinita,por ejemplo, que “2 es 2”, y que “2 no es 3”, “2 no es 4”, “2 no es 5”, etc. Otra característica, es que las demostraciones tienen que ser secuencias finitas de signos, de modo que podamos representarlas como, cuando menos, cadenas ordenadas de signos. Debemos tener la posibilidad de dar un orden a esas cadenas de signos que son demostrativas. Aunado a estos dos asuntos, requerimos expresar una negación lógica, quizá alguna versión más débil de la negación de la lógica clásica.

La mecánica precisa de la prueba se puede repasar en más lugares adecuados, pero con los elementos que mencionamos en el párrafo de arriba es fácil ver cómo podemos construir una afirmación que dice de sí misma que no es demostrable. Algo así como, soy una afirmación aritmética que no puede ser demostrada en este sistema. Llamemos a esta oración G. Dado que para toda afirmación significativa “2 = 3”, “5 + 2 > 1” o “si x + 4 = 4, entonces x = 0” o la que sea, debemos poder encontrar si ella o su negación son demostrables en un sistema que queremos que sea completo y coherente, y si la prueba que escogemos es finita (una secuencia finita de signos), entonces tenemos una máquina (conceptual) que hace demostraciones. La revolución industrial aplicada a nuestra capacidad de razonar y demostrar (véase la discusión Gödelian Arguments Against AI en PhilPapers o véase también el trabajo de Maymin, 2011). Si tomamos todas las fórmulas que son demostraciones correctas —nótese el énfasis en todas— por una vía no tan polémica, usando un conocido axioma de teoría de conjuntos, el axioma de elección, entonces sabemos que hay un modo de producir estas verdades más o menos automáticamente. Pero dado que ello implica que afirmaciones como G, que se refieren al propio sistema y a sus alcances probatorios que no se pueden demostrar a menos que la clase de lo demostrable sea demasiado grande, es decir, grande hasta la inconsistencia, entonces tenemos certeza de que algo anda mal. En este caso hay dos opciones, el sistema es completo o es inconsistente. Esto arruina las bases de la certidumbre que un sistema así de riguroso debe proveer y se pierde el punto de ser tan rigurosos, precisos, restrictivos y demandantes.

Ahora, los efectos de esta demostración sobre las matemáticas en particular, afecta directa e indirectamente a toda ciencia o aplicación que use, pues, a las matemáticas. La economía noes la excepción. Llamemos a estas afectaciones, los efectos metodológicos de los teoremas de incompletitud de Gödel. Aquí hablaremos de los estándares a los que la Economía, comociencia, puede aspirar si usa sistemas susceptibles de gödelización. No sólo matemáticas y aritmética, sino también lógica formal clásica, en especial lógica de predicados de primer orden.

También tenemos una forma relativamente indirecta de afectación. ¿Qué sabemos de aritmética y de la psicología del conocimiento a partir de que somos capaces de entender, producir y aplicar adecuadamente teoremas como los de incompletitud de Gödel? ¿Qué tipo de agente es el agente cognitivo capaz de Gödelizar —por brevedad— adecuadamente? ¿Qué implicaciones tiene para las ciencias sociales y humanidades y, en particular, para la economía y armas aledañas? Una cosa es que nuestros instrumentos tengan una limitación y, otra, es que aquello que miden o producen, la tengan. Aquí hablaremos de lo que la incompletitud de Gödel, sea cual sea la lección que aprendamos de allí, puede decirnos al respecto de los objetos en los cuales versa la economía y la Economía como ciencia.

Los niveles en los que la literatura especializada trata sobre estos temas son muy variados. En comparación con el nivel de detalle, rigor y precisión de los teoremas de incompletitud, toda esta información parecen elucubraciones especulativas de muy bajo valor científico. Pero es difícil tener una visión panorámica de todas las situaciones que pueden tanto evidenciarse como sugerirse a partir de resultados como éste, si de todas las intuiciones

posibles demandamos para su consideración el mismo nivel de rigor. Aquí —por razones de espacio sobre todo y por razones de precisión filosófica— tenemos que estar dispuestos a abandonar la precisión, rigor y detalle que la lógica formal, la meta-lógica formal y las matemáticas están acostumbradas a usar. Pero, en un intento por abarcar todo de la mejor forma, sabemos que lo vago y poco claro siempre debe responder a lo más claro y distinto.

Matemáticas y Economía (con mayúscula): El servicio instrumental de las matemáticas

La ciencia económica no está exenta de polémicas metodológicas, pero se puede decir que la aritmética es una ciencia y una técnica, un subject matter de importancia fundamental para la ciencia económica (Economía con “E”, en adelante). Tomando este hecho como tal, sabemos que todo lo que concierne, afecte la confiabilidad o aplicabilidad de la aritmética, tiene efectos claros en la Economía (aunque quizá podría no tenerlos en el fenómeno económico per se, de esto hablaremos en la sección tres de este trabajo).

Una de las ramas más exitosas de la Economía en recientes decenios ha sido la Econometría. El trabajo de la Econometría consiste un día sí y otro también, en métodos numéricos para hacer explicaciones y predicciones (forecasts) de fenómenos económicos. Este es el modelo de ciencia que, más o menos es el usual hoy en día (cfr. Al-Suwailem en Doria, 2017). La axiomatización de la economía es probablemente una tarea inútil y es claramente una tarea inútil dados ciertos presupuestos que actualizan las consecuencias de la incompletitud de la aritmética por vía de los teoremas de incompletitud de Gödel.

Axiomatización es un objetivo deseable para una teoría, un proceso, una ideología o un corpus de normas. Los diez mandamientos son un intento de axiomatizar la moralidad. Es útil porque comprimimos información compleja y abundante de modo que es fácil usar, enseñar y revisar. Las ciencias formales, sobre todo aritmética y lógica, tienden a usar mucho la axiomatización. Pero unos cuantos proyectos en ética, la mayoría de las normas jurídicas y la metodología de la ciencia, tienden a dar algún valor a cierto tipo de axiomatización. Algunas axiomatizaciones tienen aspiración de ser perfectas, esto es, que no haya situación o evento que no puedan decidir (Entscheidung). Una ideología completa es una ideología a la que se le puede poner un evento cualquiera E y la ideología decidirá si el resultado es acorde a la ideología o no, y qué partes específicamente viola. La axiomatización guarda muchas semejanzas con lo que en derecho se llama codificación. Una cuestión legítimamente planteada es si las ciencias sociales —no la parte matemática que pudieran usar— son axiomatizables o no. Sabemos que la aritmética es axiomatizable, pero su teoría de la demostración no lo es. Y queda la pregunta, ¿podría la Economía axiomatizarse? Esta discusión está puesta con un buen nivel de detalle en la mesa por Doria:

Those applications show that Gödel incompleteness may be one of the chief hindrances (besides nonlinearity) in the prediction of the future behavior of those systems in our current formal representations for social phenomena. So, our knowledge about society may also have computational, predictive limits imposed by the Gödel phenomenon (2017, pp. 4-5).

Continúa Doria (p. 9): “Now, are there Gödel undecidable sentences in physics? In mathematical economics? Yes”. Uno de los casos en los que surge un impacto directo de la incompletitud de la aritmética y que afecta el trabajo de la ciencia, en este caso de la física —en este mismo artículo de Doria— es el de diferenciar ciertos tipos de sistemas hidrodinámicos, es decir, notar aquellos que son caóticos de los que no lo son. El caos u orden depende de las ecuaciones que describen el movimiento de los sistemas y esas ecuaciones tienen diferencias o semejanzas formales que, por Gödel no podemos determinar a priori (pp. 10-14). Pero ¿cuál resultado aplicaría a la Economía? De entrada, todos aquellos métodos que presupongan la veracidad de los análisis físicos gödelizables que Doria (2017) ha enumerado. Por ejemplo, trivialmente, explotar un manto petrolífero tiene un costo si dado manto tiene una dinámica caótica o una no caótica, distinguir entrambas no puede hacerse de forma mecánica. La investigación específica es cara y los efectos financieros seguirían esa misma medida. Lo mismo pasa con todas las teorías físicas susceptibles de ser axiomatizadas y los fenómenos que ellas describen verdaderamente. Según Doria (pp. 10-23), mecánica clásica, ciertas ecuaciones de la mecánica cuántica (Dirac y Schrödinger, y por la vía de espacios hamiltonianos las álgebras de von Neuman, p. 19, 31-32), y en general todas las teorías debidamente formalizadas de la física: las ecuaciones de Maxwell (op. cit., p. 25), relatividad general (pp. 29-31), teoría general de campos (op cit., p. 32), y otras. Todo intento exitoso de reducir los conceptos de la Economía a nociones físicas, naturales, sufriría de la misma situación.

Para la Economía que no buscara o no pudiera reducirse, por ejemplo, a la física, sucede el mismo fenómeno, que en la medida en que se pueda axiomatizar al estilo requerido por la incompletud (véase la sección 2), tendría el mismo destino: proposiciones significativas o contradictorias o, bien, indemostrables. Doria y Al-Suwailem (2017) tienen algunos detalles al respecto. Por continuidad, seguiremos con el texto de Doria (2017, pp. 52-53):

Lewis and Inagaki (1991b) pointed out that our results entail the incompleteness of the theory of Hamiltonian models in economics. They also entail the incompleteness of the theory of Arrow–Debreu equilibria and (what is at first sight surprising) the incompleteness of the theory of finite games with Nash equilibria (see da Costa and Doria, 1994a; Tsuji et al., 1998). Those two last questions are discussed below in Section 17.

Dejando de lado los tecnicismos, ¿qué implican estos hallazgos? Que muchos de los problemas científicos que enfrentan los economistas son irresolubles en principio, aunque sean expresables de forma significativa, con precisión aritmética. Una tentación sería la de asumir que, como uno de los presupuestos de la incompletitud de Gödel requiere que el fenómeno tenga aspectos o características semejantes a las que tiene la aritmética (conjuntos infinitos, negación lógica clásica, finitud de los pasos demostrativos), si nos faltare alguno de ellos, entonces ya no tendríamos posibilidad de gödelizar ni al fenómeno, ni a nuestras teorías sobre el fenómeno. Pero Doria (2017, pp. 35-51) mostró que:

Maymin (2011) desglosa el problema que hay detrás. Imaginemos una gráfica sobre el histórico de precios de un bien dado en un mercado específico. Supongamos un mercado con un solo bien, un objeto que se lleva, se trae, se intercambia y se usa. Pensemos en el oro. El día uno, el oro vale n, el día dos vale n − 1, el día tres vale n − 3, el cuarto día, n + 4. La gráfica mostraría un patrón típico de ascensos y descensos que en el mundo de las finanzas es bien conocido. Un buen inversionista, sea privado o público (no importa realmente hasta este momento) debería ser capaz de conocer el precio para generar una estrategia correcta. Cuando el oro baja, debemos evitar comprarlo y deshacernos de él antes de la bajada. Cuando el oro habrá de subir de precio, debemos conseguir lo más que pudiéramos, antes de la subida. En el mundo de las inversiones lo dicen así: buy the dips, sell the rip, es decir, compra en las caídas, vende cuando el precio es alto. Hasta aquí es sentido común. El juego es finitario en el sentido de que podemos medir de formas finitarias precios y sus históricos. Pero las estrategias ganadoras (en ciencia, forecasts) implican que podemos decidir cuál es la trayectoria que el oro habrá de seguir en una cantidad dada de días en los que opera el mercado. Si el lunes 1 sube, el martes 2 sube, el miércoles 3 sube, entonces habrá que comprar el viernes 0 y sostenerse hasta que el precio baje. La estrategia de inversión sería: compra el viernes 0, aguanta el lunes 1, el martes 2 y el miércoles 3. Vamos a simbolizar compra como C, mantiene como M y vende como V. Dejemos por un momento las cantidades. Las estrategias posibles para la semana del lunes 1 al viernes 5, son: <V-V-V-V-V>, <C-C-C-CC>,<M, M, M, M, M>, … <C, V, M, M, C>, <C, V, M, M, V>, de modo que en esa semana específica tenemos que escoger una estrategia entre un total de 35, tres acciones básicas (V, C y M) en cinco días. Si incrementamos un día, incrementamos la probabilidad de error de forma exponencial. Esta ecuación crece exponencialmente, lo que significa que seleccionar la estrategia correcta para lapsos temporales largos es incrementalmente más difícil. Llevada al infinito —un requerimiento para conseguir un método fiable matemáticamente—, nos deja con probabilidades infinitesimales. No es un buen negocio, literalmente. Una solución a la larga —no importa cuántos elementos tomemos en cuenta— es, lo sabemos ahora, muy probablemente imposible. Maymin (2011, pp. 4-5) lo expresa en los siguientes términos:

Efficiency was debated even before it was formulated in its present state. Simon (1955) argued that investors are only bounded rational. This paper shows that even if that bound grows polynomially, due to advances in technology or human capital, it would not be enough to compensate for the exponential growth in the possible strategies as the length of the dataincreases.

Y continua:

Several researchers have argued that the strong form of the efficient market hypothesis is impossible. For example, Grossman (1976), Grossman and Stiglitz (1980), and Lo and MacKinlay (1999) argued that prices cannot perfectly reflect all available information because information is costly, and perfectly efficient markets would mean the rewards for gathering information were zero, so no trader would undergo the task. Campbell, Lo, and MacKinlay (1997) further note that both information-gathering and information-processing are expenses investors pay to achieve higher profits.

Una forma de expresar un resultado como este es que disminuir la incertidumbre financiera o económica a cero, no necesariamente implicaría reducir la pobreza, el hambre, las enfermedades o lo que sea que se resolviera haciendo comercio de cualquier tipo. Es decir, eliminar la incertidumbre económica, reforzar una estrategia particular, no estaría vinculado al bienestar. Para el tema de esta sección, que nos apeguemos a un algoritmo de inversión puede costarle a la Economía perder algún bien preciado: verdad, precisión, certeza o confiabilidad inductiva, practicidad, claridad o algún otro valor asociado a ciencia bien hecha y bien intencionada, véase por ejemplo Levinovitz, (2012):

The failure of the field to predict the 2008 crisis has also been well-documented. In 2003, forexample, only five years before the Great Recession, the Nobel Laureate Robert E Lucas Jr told the American Economic Association that “macroeconomics […] has succeeded: its central problem of depression prevention has been solved”. Short-term predictions fair little better — in April 2014, for instance, a survey of 67 economists yielded 100 per cent consensus: interest rates would rise over the next six months. Instead, they fell. A lot.

Levinovitz usa frases como mathiness critique. Citando a Krugman, afirma cosas como “economists […] mistook beauty, clad in impressive-looking mathematics, for truth”, “economists turned economics into […] pseudoscience… by fetishing mathematical models”, “financiers — could be bewitched by empty, extravagant theories”, etc. Este tipo de términos no pueden ser parte de textos técnicos de Economía o de cualquiera de sus ramas o metodologías, por supuesto, ni siquiera si esas piezas están haciendo alguna crítica técnica que lo presupusiera en algunos de sus textos. La razón por la que se puede uno dejar “embrujar” por las matemáticas justifica que nadie inteligente puede ser culpado. Después de todo, ¿qué hay más técnico, científico, objetivo, preciso, claro, útil y aplicable que la aritmética, por ejemplo? Hasta que, claro, tomamos en cuenta el fenómeno de la incompletitud (en este caso, la demostrada por los teoremas de Gödel), no sólo en la teoría de la demostración matemática, sino en cualquier otro fenómeno, probatorio o de modelaje, que cumpla algunas condiciones muy sencillas de satisfacer.

Lo que se ha hecho ahora en el terreno de, llamémoslo así, matematizar la Economía no ha funcionado, pero podría valer la pena seguir intentándolo y quizá, explorar algunas formas no convencionales (incluyendo especialmente non-standard modelling). Maymin (2011) nos ofrece un panorama no muy halagüeño para ese efecto. Poder siquiera sustanciar la tesis de que los mercados —como el histórico de los precios que de facto se usan para comerciar— son eficientes, al menos débilmente eficientes, parece operar en un sentido inversamente proporcional a la veracidad de la tesis de que los problemas que son de complejidad resoluble con recursos limitados (finitos, determinados, etc.) abarcan problemas cuyas resoluciones son finitas (por ejemplo, números naturales, secuencias finitas de caracteres o así) para resolver problemas de tamaños crecientes (no determinísticos). Una forma de ver este asunto la sugiere, John Nash citado del siguiente modo por la Wikipedia (P versus NP problem, § History): “In 1955, […] John Nash] wrote a letter to the NSA, where he speculated that cracking a sufficiently complex code would require time exponential in the length of the key”. Al entrar a una cuenta de correo electrónico o a un sistema de seguridad bien encriptado, si el password es finito, toma muy poco tiempo al sistema verificar si de hechohemos introducido el password adecuado, pero encontrar el password correcto con métodos mecánicos dentro de un conjunto de posibilidades, incluyendo métodos como prueba y error, es una familia de problemas totalmente diferente. Podría no ser posible realizarse en un tiempo finito, pues si Maymin tuviera razón, el mercado tiene las mismas probabilidades de ser eficiente (y que sus precios se puedan conocer con el registro histórico de los mismos, con certeza científica y cuanta cosa más suceda), si la clase problemas de resolución polinomial es igual a la clase de problemas cuya resolución polinomial pero no determinista (el conocido como problemas P vs. NP ). Las probabilidades entre los teóricos especializados, al menos hoy en día, se inclinan fuertemente por la falsedad de la tesis: P = NP. Aunado a esto, el resto de las razones que hemos someramente repasado, mostrarían que, cuando menos la ciencia económica no debería albergar muchas ilusiones en el intento de mecanizar, axiomatizar sus hallazgos para poder hacer no sólo explicaciones (análisis de regresiones lineales y proyecciones al futuro) con certeza o incluso, muchas veces, con confiabilidad. Esto, para muchos modelos de cientificidad, equivale a lanzar la Economía al barrio de las ciencias sociales y quizá peor, un escaño más abajo, al barrio de las humanidades.

Quizá merezcan especial mención un par de asuntos. El primero es altamente técnico, los efectos del fenómeno de incompletitud de sistemas que usamos para hacer teoría de juegos, y el segundo es el de los problemas que teorías económicas —como la teoría de la decisión racional (preference logic)— imponen si suponemos compleción de la teoría de que tratamos o de la aritmética en particular. Los segundos son asuntos quizá menos interesantes y, basta con decir que utilizar métodos de medición ya no cardinales (como los de la aritmética de Peano), sino ordinales, tiene a su vez su propia familia de aporías, lo que hace muy difícil sostener que la completud nos libra de inconsistencias aún en situaciones que parecen muy simples y cotidianas. En este nivel, las inconsistencias de facto nos dificultan la posibilidad de predecir con confianza, y, por tanto, reconocer un aspecto fundamental de la verdad como la persiguen y frecuentemente la consiguen las ciencias naturales.

Al respecto de la incompletitud de las teorías de juegos Doria (2017, p. viii) afirma:

En el caso de la teoría de juegos, en instancias de juegos finitos, por ejemplo, sabemos que el fenómeno de la incompletitud de la aritmética se manifiesta cuando menos en la imposibilidad de encontrar estrategias ganadoras para cualquier escenario posible en cualquier juego posible, por ejemplo, muchas de las estrategias utilizan operaciones, integración de funciones y, en general, reducen nociones como óptimas o estrategias ganadoras (equilibrio de Nash) a operaciones aritméticas diofánticas. Así, la solución a muchos juegos, incluyendo instancias singulares de los mismos, involucran proyectar estrategias a instancias en números infinitos o información incompleta, parcialmente incompleta o de plano deficiente (Binmore y Shin, 1992; Tsuji et al., 1998). La manera en la que aplica la incompletitud de la aritmética a metodologías o teorías económicas es por la vía de soluciones generales a problemas que se pueden expresar como ecuaciones diofánticas.

La incompletitud de la aritmética descubierta por Gödel aplicaría —prima facie— de una forma diferente en la teoría de la decisión racional, tanto social o pública (public choice theory o social choice theory), como individual. En especial en interpretaciones no cardinales (Sen, 2017, pp. xxvi, 14-21, 47-48, 147-144, y especialmente §7.2. Comparability, Cardinality and Discrimination, y otros autores como el propio Arrow) en la semántica de la lógica de las preferencias, tenemos que hay dificultades que parecen emerger del siguiente fenómeno: tienes un par de deseos competidores o quizá mejor, tienes sociedad divida en dos, unos que votan por A (Aos) y otros que votan por B (Beos). En una elección en la que los Aos son 50% de los votantes y los Beos son el otro 50%, dadas algunas restricciones más, parece imposible saber la sociedad total (Aos + Beos) si se decanta por A, por B, por A y B, o por ninguno de los dos. Con información completa, parecemos perder precisión o claridad al respecto de si A será electo o B será electo. No sabríamos predecir cuál específicamente será electo. Y lo anterior, con absoluta precisión. Lo que quizá sucede allí es que tendríamos que admitir cierta incertidumbre: la sociedad de Aos y Beos elige A o B, precisamente dados algunos supuestos más como, por ejemplo, que los votantes son racionales, consistentes, que no compita C o, que otra opción C cualquiera no esté a la mano de los votantes, que sólo hay lugar para uno de los dos y quizá alguna otra condición. Uno de los problemas que tendríamos aquí es, dadas las condiciones dichas antes, ¿cuál de los dos candidatos A y B elige dicha sociedad? No puede no elegirse uno —ex hypothesi— y no puede seleccionarse uno en particular por sobre otro. La respuesta correcta parece depender mucho de condiciones especiales. En la vida práctica cuando en un órgano colegiado hay una decisión de este tipo, que admite la posibilidad del empate, suele establecerse por ley alguna condición como la de que a un miembro se le da voto de calidad, se diseñan segundas vueltas, etc., o se estipulan excusas, y otras cosas. Quizá este no es un ejemplo del todo preciso técnicamente —al nivel que la incompletitud de Gödel requiere—, pero ilustra algo, a veces la precisión es imposible sin violentar la verdad, a veces la verdad es imposible sin perder precisión. La incompletitud de Gödel para sistemas formales capaces de cierta aritmética ordinal se vería un tanto cuanto diferente a como se ve para teoría de números ordinales. Hay cierto grado de discusión sobresi la inducción transfinita nos permite probar la coherencia de la aritmética, pero al mismo tiempo, si el fenómeno de la autoreferencia estilo Gödel surgiría de algún modo. Un caso interesante por muchas razones que señalar aquí es el que explora Dembinski (2011, p. 30):

The notion of ‘incompleteness’ is used here in the sense derived from Gödel’s well-knownsecond theorem. This seminal theorem demonstrates in formal logical terms that a system of axioms can be proved as logically consistent only if it is incomplete. In other words, a proof of consistency of an axiomatic system requires the use of statements external to the system itself. When applied to economic and business practice or theory, the Gödel’s theorem reminds us that those systems which pretend to provide an internal self-justification cannot but fail to do so and are, in fact, simply recursive. A final justification can only be derived from higher order statements that are external to the economic and business realm, namely moral philosophy or even theology.

El último aspecto de la interpretación de Dembinski no debería hacernos pensar en la poca o defectuosa cientificidad de su interpretación. No es una interpretación estándar de la incompletitud de Gödel aplicada, en particular, a teorías o conjuntos de principios, técnicas, prácticas y definiciones de la Economía y las Finanzas, o a corolarios de las mismas, pero al menos es razonable. Detectar, definir y entender un ciclo económico y sus implicaciones es “fácil” (ciencia económica), vivirlos o evitarlos, es “difícil”. La moraleja que se puede sacar aquí —dice Dembinski, que se opone a la idea de que the business of business is business (el negocio de los negocios, son los negocios)— es, los negocios no son un fin en sí mismos.

Cuando una teoría es contradictoria, esa teoría deja de mostrarnos lo que es y separarlo de lo que no es (explosión lógica), todo es lo mismo, la pobreza es riqueza, la inocencia, culpabilidad y, claro, lo verdadero es lo falso. Cuando una teoría es incompleta, podemos aspirar a que nos permita continuar asiendo la verdad y discriminando lo falso, pero debemos reconocer que tal situación depende de una valoración externa, en algún sentido, al sistema en cuestión. ¿Dónde termina esto? ¿Qué cosa vale por sí misma y sin necesitar ningún soporte externo para tal validación como, por ejemplo, lo necesita la coherencia de la aritmética de Peano más la lógica de predicados de primer orden? Esta es una discusión difícil, pero es filosóficamente muy significativa.

Ahora sólo queda revisar una posibilidad más. ¿Hay alguna escuela o metodología en economía que no dependa de suponer la compleción y completud de sus teorías, en especial, si echan mano de aritmética o álgebras isomórficas a la aritmética?

Hay una tradición económica para la que este punto de inicio, capaz de navegar exitosamente en universos con océanos infinitos, por decirlo así, es la tradición de metodología económica basada en el trabajo de Ludwig von Mises, formador e influencia decisiva en el trabajo de varios premios Nobel de Economía. Para entender un poco la dificultad de computar tal cosa como un hombre y de los fenómenos que se desprenden de su actuar como el mercado y la civilización podemos recurrir a ciertas intuiciones de Kant y Ludwig von Mises. Consideremos la idea kantiana de la posibilidad de verdades sintéticas a priori. En este asunto, Mises logró hacer explícito y articulado el conocimiento implícito que se tenía sobre la naturaleza de las proposiciones económicas, de los agentes y los fenómenos del mercado. Jean Baptiste Say (para dejar aquí sólo un ejemplo, Say, 2011) elaboró de manera más concreta y clara lo que se entendía por economía tomando y haciendo explícitas algunas ideas de Nassau Senior (por poner sólo un ejemplo Senior, 1965) y John E. Cairnes (cfr., por ejemplo, Cairnes, 1861). La idea de que en la economía se partía de enunciados generales, aceptados y universalmente válidos —para de ahí deducir de manera rigurosa cada postulado siguiente sobre la naturaleza de los agentes— era la visión predominante. Diferente a como se procede en la física, por ejemplo, el economista no busca los principios últimos de su ciencia, sino que, de alguna manera, parte ya de ellos y su trabajo es la de ejercer con rigor la deducción lógica para encontrar la verdad sobre fenómenos y problemas.

Jean Baptiste Say elaboró de manera más concreta y clara lo que se entendia por economía tomando y haciendo explícito lo que aceptaban pensadores como Nassau Senior y John E. Cairnes entendían por economía.

Así, el trabajo de Mises parece aclarar, cuando menos, un problema de la filosofía kantiana, a saber, que las verdades sintéticas a priori son posibles si suponemos que el mundo externo al sujeto y el mundo interno al sujeto están dentro del marco de las acciones del mismo a modo de categoría trascendental de la experiencia: no se comprueba su existencia —como en las ciencias naturales— sino que se presupone de tal modo que negarlo —para tratar de comprobar si es el caso o no— vuelve imposible siquiera la posibilidad de tener evidencia a posteriori o experiencia del mundo. Mises propone que las categorías de la mente son en realidad categorías de acción, donde la acción es aquella intervención deliberada, voluntad en movimiento que conecta lo que es el agente con la realidad material y viceversa. De esta forma (por medio de la acción) es que salva aquel abismo que existía entre estos dos mundos. De esta forma, uno puede considerar algunos enunciados a priori que revelan algo sobre la realidad, que amplían nuestro conocimiento de la realidad, sin basarse en la experiencia sensorial o la evidencia empírica. Uno accede a estos de manera reflexiva y, una vez haciendo evidente esta cuestión del actuar humano, tal cualidad es aceptada sin mayor complicación. Estas verdades no son autoevidentes en un sentido psicológico, sino a un nivel más reflexivo y que requieren de un esfuerzo intelectual para poder hacer explícito lo tácito. La frase Las hojas de los árboles son verdes podría ser obvia en un sentido psicológico para un sujeto particular que ya ha integrado una experiencia o un conjunto de significados a su bagaje lingüístico o cultural, pero los elementos y el propio actuar humano, sus axiomas y supuestos no se comprueban así, ni se integran así a la vida de las personas y a las sociedades, pero requieren de un mayor esfuerzo introspectivo para su examen y aceptación como verdades.

Veamos el sabor de estas afirmaciones en un par de casos particulares. Consideremos que vivimos en un universo totalmente determinista, de todo a todo, ¿no indica el proceso de argumentación una contradicción muy probable? Argumentar implica aceptar una agencia por parte de nuestro interlocutor y de nosotros mismos, pues reconocemos que existen razones a favor y en contra de una postura que pueden convencer o no a un ser racional o autónomo. Es el mismo proceso de argumentación el que reconoce que se pueda decidir a favor o en contra. No se puede argumentar o discutir con una piedra, con un robot o con un autómata ¿Se puede argumentar en contra de la autonomía racional de nosotros mismos sin caer en contradicción? Todas estas cuestiones están implícitas en el axioma de la acción. Las personas actúan y en ello descartan caminos de acción y eligen uno por sobre otros, reconociendo la posibilidad de pérdida, de ganancia y la autonomía propia en esa interferencia sobre el entorno. Cuando uno argumenta a favor o en contra del destino, reconoce mayor valor en un camino que en otro, la posibilidad de ganar o perder y la necesidad de convencer, a uno mismo o a otro.

Así, finalmente, ¿cómo podría alguien argumentar que no está argumentando sin incurrir en un círculo vicioso que depende de la existencia de la agencia, de la libertad para creer, es decir, actuar a nivel doxástico o epistémico? Parece imposible, pero no contradictorio.

Para cerrar esta sección debemos considerar una de las posibilidades que de forma rigurosa aborda Al-Suwailem (cfr. Is Economics a Science? A Gödelian Perspective, 2017, en Doria, 2017). Es posible que si el modelo de cientificidad real, genuino y exclusivo, fuese el de la física, pues debamos admitir que la Economía como ciencia es imposible. Pero la verdad no es lo mismo que la demostración, ni los procedimientos de evidencia, ni otras cosas adyacentes. La ciencia como actividad humana es la búsqueda sistemática de verdad, podría entender uno, donde sea que se encuentre, sobre el asunto que sea, de un modo adecuado para ello. Y así, dado que haya verdades de la economía y las finanzas, dado que existe la pobreza, la riqueza, dado que la cantidad de productos causan movilización en precios y el incremento de la demanda de un bien escaso hace que su precio suba, etc., sabemos que hay verdades de la economía. Una ciencia que nos las reporte, es la ciencia de la Economía, aunque no siga esta los pasos metodológicos de las ciencias naturales, en particular, los pasos de la física.

Incomputabilidad del hombre, del mercado, de la economía (con minúscula)

Quizá el problema de la incompletitud no es un asunto del tipo de herramientas teóricas con las que contamos, una de ellas, la aritmética, las mediciones, etcétera.

Otra forma en la que la disyuntiva entre incompletitud y contradicciones al estilo de la incompletitud de Gödel surge, no tanto en el ejercicio científico o académico sobre la economía (la ciencia económica) y de las herramientas teóricas que usamos los científicos o académicos en general, sino en el fenómeno mismo de los seres humanos (qua agentes económicos), las sociedades (mercados) y sus efectos y consecuencias (empresas, contratos, instituciones de cualquier tipo, riqueza, moneda, et al.). ¿Hay fenómenos —no teorías sobre ellos— que sean coherentes si y sólo si son incompletos? (¡A saber, que sea exactamente que un cierto ser humano o agente artificial sea, en el sentido de los teoremas de incompletitud de Gödel!)

Una de las primeras dificultades que una persona encontraría para sostener afirmativamente una proposición como esta, es que el ser humano, por más inteligente que sea, es incapaz de satisfacer los requisitos que impone la incompletitud de Gödel en la aritmética de Peano como teoría. Llamemos a la aplicabilidad de la incompletitud de Gödel al ser humano o a algún otro tipo de agente o sistema, Gödel susceptibilidad (GödSus). La pregunta precisa es: ¿existe algún aspecto de la economía como objeto de estudio que sea GödSus? La discusión puede ser larga, interesante y compleja. Pero vamos a aceptar que, en la medida en que la vida mental de una persona sea capaz de apegarse a la forma de proceder de una máquina universal de Turing (una computadora general de propósito amplio), en esa medida ese sistema, persona, agente o sociedad, es Gödel susceptible. Esto, en concreto implica que seamos capaces de pensar rigurosamente sobre infinitos, sobre relaciones entre los elementos que componen esos infinitos (números, por ejemplo) y, que seamos capaces de regir nuestra forma de pensar sobre ellos, usando técnicas, asimismo, mecanicanizables. Algunas de las cosas que requerimos es, ser capaces de manejar sistemas de símbolos (lenguajes), entender que tales símbolos refieren a algo (semántica) y que seamos capaces de componer expresiones entre estos elementos de forma más o menos recursiva: posibilidad de usar un catálogo finito de símbolos para arreglar una cantidad potencialmente infinita de expresiones. Todo esto parece que el ser humano es capaz de dominarlo.¹

El siguiente paso, una vez que probamos que un sistema (en este caso relevante para la economía) es GödSus, debemos probar que es Gödel limitado (GödLim, surpassing the powers of machines, se ha dicho). Que una persona, un conjunto de personas, un mercado o tipo de bien o servicio, sea GödLim, quiere decir, simplemente, que le aplican los teoremas de incompletitud de Gödel tal cual le aplican la aritmética de Peano y su teoría de la demostración (lógica de predicados de primer orden). En la literatura existe una cantidad enorme de posiciones y pretendidas formas de probar que, o bien, personas, agentes artificiales, sistemas, comunidades o genes parecen Gödel susceptibles, sin serlo o, que son GödSus, pero están GödLim. Algunos han tratado de probar que, cuando menos los humanos que saben hacer aritmética son a la vez GödSus y no están GödLim. Entre los más famosos tenemos a Roger Penrose, Stuart Hameroff, Hilary Putnam, Haim Gaifman, Storrs McCall, el propio Kurt Gödel y otros, en opinión de uno de los autores de esta ponencia, menos interesantes o mejor refutados. Pero el mismo tipo de trabajo no se ha hecho con suficiente detenimiento para el campo de la economía y su ciencia.

Hay muchos conceptos complejos y útiles para la ciencia y la tecnología que suelen mostrarse como relevantes para esta discusión. Algunos ya los hemos visto, pero otros que se han mencionado como de mecanicidad, predicibilidad, algoritmicidad, computabilidad, certidumbre, recursividad, determinismo, sistematicidad, formalidad, reducción, etc., para cada uno de ellos hay distinciones importantes que tener en cuenta. Recomendamos por ejemplo el trabajo Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse de Torkel Franzén.

La discusión, por otro lado, no es del todo nueva. El valor creativo del intelecto y fenómenos y el valor explicativo de valores como el de la libertad y uno de sus frutos, la impredictibilidad, han estado en la preocupación de la gente desde hace mucho tiempo. En épocas modernas, Hobbes y Descartes tocaron algunos de ellos casi explícitamente, y abonaron en la discusión. A su manera, muchos de los problemas que conllevan afirmaciones sobre el universo completo o la totalidad, fueron acomodados por filósofos en grandes vuelos especulativos como es el caso de Hegel. La ciencia moderna parece haberse casado con la idea —acaso dogmáticamente— de que la naturaleza es ontológicamente finitaria de todo a todo, y que podemos asirla o describirla bien y en su totalidad si tan sólo prestamos suficiente atención ala evidencia (casos pasados) para, quizá, poder conseguir un poder predictivo prácticamente igual al del demonio de Laplace:² un demonio que es capaz de predecir o inferir todas las características físicas de todos los cuerpos que componen el universo. Esto ha puesto algunas de las discusiones filosóficas dentro del vecindario conceptual que hoy nos interesa considerar aquí. ¿Qué valor metodológico, qué servicio a la verdad presta suponer cosas como que la libertad es real y que además debe respetarse? ¿Es posible conseguir por medio de la investigación científica las condiciones con las cuales trabaja el demonio de Laplace? ¿Qué efectos tiene que consigamos lo mejor que podamos tal cantidad y calidad de información? ¿Mejoraría nuestra capacidad tecnológica, nuestra aptitud moral y política? Si sí, ¿cómo exactamente? Se ha pretendido mantener inconexas a muchas de estas preocupaciones de forma que, una cosa sea tratar lo ético de valores como el de la libertad o la creatividad, otra cosa sea lo político sobre la libertad y la creatividad, otra lo jurídico, otra cosa sea qué implica para las ciencias sociales que creamos que somos entidades libres, y otra sea probar que tenemos esa, digamos, cualidad.

En la serie de películas The Matrix (Wachowski y Wachowski, 1999, 2003, 2003) hay una escena en Matrix Reloaded que muestra uno de los aspectos más interesantes de la posibilidad de la existencia de un ser con los mismos conocimientos que un demonio de Laplace. En este universo el demonio de Laplace vive dentro de otro universo producido en una supercomputadora. En ese universo computacional llaman a este personaje la oráculo. Es una mujer, la “oráculo” conoce el destino de la simulación. En cierto momento el protagonista de la historia, Neo, visita a la oráculo para recibir sus consejos. Al entrar a su cocina, la oráculo le dice, “Neo, no te preocupes por ese jarrón”. Neo voltea atendiendo esa advertencia, golpea un jarrón que cae y se rompe. ¿Causó la oráculo el accidente al tratar de advertir a su visitante? ¿Se hubiera caído independientemente del consuelo previo al trauma? Si por hipótesis sabemos que la oráculo conoce lo que va a pasar, de todo a todo, entonces ella sabía lo que hacía. Si ella decidió causar la rotura del jarrón, la actitud correcta es pedirle a su visitante que no se preocupe. Pero si ella no decidió causar la rotura del jarrón, sino que el jarrón estaba ya, por decir así, destido a romperse de un modo u otro, entonces también parece una buena idea consolar a su visitante. Este es un tema común en la literatura y artes afines. El cuento de Borges que se llama “Del rigor en la ciencia” (1960) trata sobre un mapa que es tan perfecto que tiene la misma extensión que el área del imperio de cartógrafos obsesivos. Un mapa así es indudablemente fiel a lo que representa, no obstante, por lo mismo, es indudablemente inútil para muchas de las tareas para las que los mapas son necesarios. Para el mismo autor, temas semejantes se pueden leer tanto en su cuento “Ruinas circulares”, como en “Funes el memorioso”, “El Aleph”, en menor medida “El Inmortal”, “Tlön, Uqbar, Orbis Tertius” y otros. Esta es una pequeña muestra de ejemplos donde alguno de los aspectos de la posesión y obtención de conocimiento, coherencia, perfección, compleción, precisión, inteligibilidad, etc., tiene algunos efectos, al menos aparentemente, anti-intuitivos. Llevado al extremo, este modelo de cientificidad parece comprometerse con un mecanicismo o un determinismo fuerte. El modelo se replica no sólo en Economía, sino en casi todas las ciencias que estudian al ser humano: antropología (cualquier metodología), psiquiatría, ciencias cognitivas, biología, lingüística, y más. Pero con Gödel podemos saber que esto no es posible ni siquiera para la aritmética, ya no digamos para el resto de las ciencias. Pero, ¿no implicará esto que el ser humano, como entidad en el universo, tiene un notorio grado de indeterminabilidad, de no mecanicidad, de inconmensurabilidad, etc.?

No sólo para establecer que el ser humano —o cuando menos algunos seres humanos— son GödSus, sino por curiosidad general, ¿dónde podríamos “ver” nuestra capacidad de actuar de acuerdo a como actuarían seres con recursos infinitos a su mano? Un lugar para verlo es donde es poco común: en gente altamente rutinaria, con formas de vida predecibles y estables, podría tener en su vida mental procesos solamente aprehensibles advirtiendo que estas personas frecuentemente acceden y usan recursos infinitos. Hartman (1964) presenta cuatro pruebas de la infinitud del hombre. La primera es la que llama The Epistemological Proof del valor infinito de la persona humana. Somos capaces de combinar, dice Harman, objetos con conceptos para tratar de asir al mundo. Y no importa qué tan finitos sean esos conjuntos, sus combinaciones y secuencias son, en sí mismas, de números de tamaños infinitos. Aunado a esto, nuestra capacidad de pensar sobre ellos, nos indicaría, dice Harman, que somos capaces de pensar que a es P, y somos capaces de pensar que pensamos que a es P. Y así al infinito (pp. 431-433). En The Logical Proof, Harman nos dice, somos capaces de definirnos a nosotros mismos y pensar sobre nuestra representación: reflexión. Y podemos pensar sobre la reflexión, y sobre la reflexión de la reflexión, y así al infinito (pp. 433-434). La tercera prueba es un poco menos clara: el hombre es una creatura que tiene la posibilidad de copiar cualquier otro ente de la creación, es decir, que puede reflejar la creación completa y decidir qué parte ser. Eso implicaría que tiene la posibilidad, pues, de decantarse por un objeto de la creación o un subconjunto de ellos, en un orden o en otro. Así, puede albergar o especular (en el sentido de espejo) cualquier cosa (pp. 434-435). Finalmente, The Teleological Proof aplica estas mismas definiciones, pero a partir de la noción de objetivo: el hombre se da un fin a sí mismo y, para ello, debe ser capaz de pensar y decidir cada vez, y cada implicación que tiene todo en pos de la forma de concebirse a sí mismo (pp. 435-436). Este tipo de argumentaciones suele dejar un gusto de misterio y falta de rigor que hace bien en molestar a quien busca conocer a detalle. Una forma de verlo es así: aunque cada decisión particular que tome un ser humano o un grupo de seres humanos, pensemos, de tipo económica, es particular y hasta finita, las razones por las que lo hace, se entienden solamente si se consideran planes a largo plazo, si se considera lo que espera de los demás miembros de su comunidad, por ejemplo. ¿Por qué un ser humano particular decide tener hijos y no suicidarse? Porque, entre otras cosas, concibe que la existencia con perspectiva de infinitud de la especie es algo bueno. La decisión pues, concreta, de tener un hijo y cuidarlo hasta su maduración, suele explicarse apelando a la perspectiva de inmortalidad de la especie. Esto mismo suele explicar por qué los padres entran a un edificio incendiándose para sacar a un hijo o a un infante, o eso explica por qué vale la pena arriesgar y, a veces, perder la vida o el patrimonio en una guerra, etc. De otro modo, la conducta podría ser extremadamente cortoplacista e irracional, a menos que se mire a la luz de lo que se pierde a largo plazo, para uno y para los demás congéneres.

Podemos imaginar un juego de estados finitos, claramente especificado como el ajedrez. Parecería que si asignamos alguna valoración a los movimientos, una evaluación previa y posterior a cada movimiento, el valor de las piezas, de los escaques, etc., podemos encontrar estrategias mecánicas para seleccionar entre estados distintos: tomar una reina o no, tomar un peón o no, retroceder un alfil o no, etc. Aún así, es necesario tomar en cuenta criterios distintos al juego mismo para tener certeza de qué piezas mover y por qué. Por ejemplo, podemos mover una pieza y ganar puntos en la toma de escaques, piezas tomadas y evolución de una estrategia específica que conduce al mate, pero todavía queda por resolver si es deseable ganar y cómo. Es un supuesto importante, porque un jugador en una partida específica puede estar tomando en cuenta una cantidad importante de elementos, incluso circunscritos al asunto del ajedrez, que lo impulsen a conducirse intencionalmente peor de lo que podría hacerlo. Imaginen que quiere crear una sensación de soberbia en un contrincante importante y, para ello, pierde intencionalmente alguna o varias partidas. Perder en ajedrez en una partida específica puede conducir a ganar en otra posterior. Decidir perder o, cuando menos, no ganar una partida concreta, puede no ser una estrategia totalmente confiable, de modo que tomar esa decisión podría conllevar algunos otros riesgos. Así, consideraciones externas a una simple partida de un juego finitario, se prestan para, a priori, ser incomputables. Que un juego concreto sea finito, sea toda partida o alguna partida singular del mismo, no quiere decir que todas las decisiones de todos los juegos sean igualmente limitadas. Si los agentes que intervienen tienen complejidades que superan a las dificultades de evaluar estados del juego finito —como es el caso de jugadores humanos de ajedrez, o piedra, papel o tijera, o blackjack, pocker, o lo que sea— entonces, comprender el juego supera sus reglas de formación y las decisiones manifiestas. Comprender el juego supondría, pues, comprender los estados mentales de los jugadores y, si para ello fuera importante el mundo en el que se mueven, pues además del juego, sería importante conocer el mundo a su derredor.

Una posibilidad es que los agentes que componen la economía real, en nuestro caso, personas físicas y personas morales (finalmente, también personas físicas), se explican como fenómenos humanos. Si el hombre tiene de algún modo, como sea, acceso a creencias infinitas o a creencias fundadas en presuposiciones de acceso exitoso al infinito, entonces explicar un juego, finito, en el que juegan humanos, se hace explicando a los jugadores junto con sus decisiones. ¿Cómo puede ser el hombre un sistema infinito en modo relevante alguno? Hartman (1964) publicó “Four axiological proofs of the infinite value of man” en el que, cuando menos parece mostrar que dado que las relaciones lógicas entre las creencias de las personas son infinitas, entonces el ser humano es capaz de navegar, de algún modo, las aguas del infinito. Si yo tengo la creencia de que Aguascalientes está a 200 kilómetros de Zacatecas exactamente, entonces ello implica que no está a 199, ni a 198, ni a 201, ni a 202, ni a 197, ni a 203 km, exactamente y etc. Ese claro etcétera refiere al infinito. Creencias aparentemente poco polémicas como la de la distancia que hay entre estas dos ciudades mexicanas, tienen aspectos complejos de capturar, describir o sistematizar, sin apelar en modo alguno al infinito. Por el momento, basta esta pequeña elaboración para dar algo de sustento a la idea de que el hombre como agente económico, podría imponer complejidad computacional a lo que de otro modo parece muy sencillo en economía: planear de modo tal que todos tengan cierta cantidad de cada bien o valor. Algo semejante puede estar pasando, no en nivel de la cuantificación de los estados naturales de los seres humanos, sino específicamente entre ciertos valores o bienes. Por ejemplo, cierta colección de pinturas o cierto bagaje musical, idioma e historia, podrían tener un valor claramente importante y complejo de manera notable, en relación con la capacidad que tales objetos pueden justificar ciertos sacrificios. Se han peleado guerras y ha muerto gente para preservar idiomas, para despojar de arte y costumbres a sociedades completas. El valor que tienen, en sí o para nosotros, ciertas cosas, puede ser de carácter complejo, de valor complejo y con la posibilidad de tales caracteres o valores, hacer una diferencia especialmente importante para entender y modelar ciertas decisiones de sus agentes.

Una última reflexión viene, pues, de enfocarnos en el valor, no en la ontología del mundo o de los agentes económicos, sino de los bienes y servicios que buscan producirse, distribuirse y consumirse. Aunque muchos de los razonamientos sobre la arquitectura y ontología del ser humano, como un valor económico frecuentemente en juego en nuestras actividades económicas diarias, podemos tratar de entender si hay algún fenómeno semejante en los bienes y servicios en sí mismos. Hay escuelas económicas para las que es muy difícil explicar por qué el valor de intercambio que tiene un bien o un servicio fluctúa de formas tan, aparentemente, caprichosas o subjetivas. Todas las escuelas o corrientes metodológicas de la Economía (como ciencia), que presuponen un origen objetivo del valor, tienen severos problemas para explicar fenómenos del mundo real. Una teoría del valor objetivo de los bienes ampliamente aceptada entre no especialistas en Economía es la teoría del valor como horas de trabajo-hombre. Es decir, que un bien o un servicio dado vale el tiempo que toma al ser humano crearlo y ponerlo en el mercado a disposición de otros para su intercambio, uso, consumo, etc. Un espejo cuesta 500 horas de trabajo hombre, mientras que un kilo de oro podría costar muchas veces más ese tiempo de producción, supongamos, 500 000 (1 000 veces más). A la luz de esta información, cambiar oro por espejos, es irracional. Pero si el que tiene el oro jamás ha visto su cara bien reflejada en algún objeto funcional, el valor que el dueño del oro atribuye al espejo es superior y admite el intercambio. Lo mismo pasa con un diamante y un vaso de agua en el desierto, una cobija en medio de la nieve, una vacuna para unos padres de un niño enfermo, una hora libre para un médico agotado o la posibilidad de escoger una carrera para un joven deprimido. Las teorías que no presuponen un valor económico fijo u objetivo, al margen de lo que el dueño del bien atribuye, tendrían una mejor forma de lidiar con este tipo de fenómenos cotidianos —muy comunes— no tanto porque toda teoría subjetiva sea mejor, sino porque permite lidiar mejor con lo que podríamos llamar “aritmética ordinal”, inducción transfinita y toda esa clase de asuntos que parecen ayudarnos a sobrepasar la racionalidad limitada por los teoremas de incompletitud de la aritmética. Algunos como Mario Bunge (que afirma explícitamente en Bunge, 2010, y allí mismo refiere a otros de sus trabajos como Social Science under Debate, 1998, aunque tiene otros trabajos en los que toca los temas como Economía y Filosofía, 2ª ed., 1985, sin la mejor de las pulcritudes conceptuales) se han apresurado en equiparar, al menos a permitir concluir, subjetivo con pseudocientífico o lo subjetivo como contribuyente al estatus pseudocientífico de ciertas teorías económicas, cuando lo que deberíamos hacer todos es casar las prácticas científicas con la verdad, en tanto sea científica y, todo lo demás, pasarlo a segundo lugar, incluyendo, si así fuera menester, lo físico, objetivo, contable, mesurable y empírico.

Si por un momento nos permitimos tocar todos estos temas de una vez, veremos quizá ciertos vasos comunicantes. ¿Ganamos algo en poder predictivo y explicativo si asumimos —aunque nos parezca falso— que, como entes, sea cual sea nuestra faceta de existencia, somos seres libres, capaces de creatividad, impredecibles, fundamentalmente inciertos, etc., sin caer en que todo vale, todo sucede, todo debe suceder, todo vale igual, etc.? ¿Es posible ser libre en un universo mecánico que se describe total e infaliblemente de manera finita? ¿Ayuda suponer eso en nuestras fácticas existencias económicas y financieras, en las jurídicas, en las sociales? ¿Es posible crear valor ad hoc aunque no podamos crear materia o energía? Este tipo de cuestiones son las que, como fenómeno de estudio genuinamente científico, económico, debemos tener en mente.

Para cerrar esta discusión, exponemos un par de nociones. La primera es narrar en qué consiste que a la economía como fenómeno le aplique la incompletitud de Gödel, ya sea a sus agentes, a algunos de sus agentes o lo que sea, y también veremos a qué nos lleva pensar que en el terreno del valor económico, la falta de compleción puede entenderse como una razón que separaría metafísicamente los objetos de estudio de las ciencias naturales —en las que se busca y aprecia una reducción dogmática a lo finitario— y los métodos con los que se ejercen, y los objetos de las ciencias sociales y los métodos con los que se realizan, donde parece claro que ningún proyecto general y abarcante, de reducción dogmática a lo finitario ha funcionado bien.

Al-Suwailem (2017, en Doria) se lo pregunta abiertamente: quizá el estudio más riguroso de la economía (lo que llamamos aquí Economía, con mayúscula) no sea científico. A problemas semejantes nos enfrentamos los académicos en nuestra labor, como un todo. Uno de los objetivos que justifica a una universidad es a la búsqueda de la verdad. Cuando un evento yasucedió que no “especulamos”, por decir así— esa investigación suele estar en manos de historiadores y abogados. No se puede hacer historia con predicciones. Pero si queremos la verdad histórica, debemos aguardar a que acaezca el evento y entonces volcarnos a tratar de conocerlo. ¿Pasa lo mismo o algo equiparable con la Economía? Al-Suwaleim (p. 228) lo establece así:

It can be argued, therefore, that novel uses of commodities cannot be systematically deduced from input commodities. Producers or sellers, in general, cannot foresee all the uses of their products in order to incorporate them into their prices. Hence, the price of a commodity in a free market has an irreducible component due to the emergent properties. The value of the commodity is, therefore, not always the sum of the values of the inputs — the whole is greater than the sum. In fact, this might be a major function of a free market: to allow for novel and unforeseeable uses of commodities, which is a driving force of growth. If a commodity were completely reducible to its inputs, then there would be no point in producing the commodity in the first place; in a free market, it would be completely redundant. A commodity produced in a free market, therefore, must have value beyond its inputs. This added value, however, is not formally quantifiable, that is, it cannot be systematically quantified in advance. This is probably one area where economics can incorporate valuable insights from Gödel’s theorem.

Pareciera que, por un fenómeno semejante —quizá exactamente aplicable al de la incompletitud de la aritmética probada por Gödel— consiste en separar las nociones de valor, uno es el valor monetario, el valor físico, el valor industrial y, otra cosa es la riqueza. En una sociedad podemos tener total desigualdad en los dólares y, no obstante, poseer grosso modo la misma riqueza entre sus ciudadanos. Estas posibilidades invitan a toda clase de reflexiones interesantes sobre la economía, la Economía, la política, la filosofía política, la ética y otras muchas cosas semejantes.

Consideraciones y moralejas finales

A modo de resumen, algunas de las conclusiones que se alcanzan a sacar de este tema son instrumentales para la metodología de la economía, para la Economía. La búsqueda de un método de manejo de la escasez, alguna función que implique abiertamente que podemos computar todo estado económico de cosas a partir de un conjunto de evidencia dada, pasada, presente, o total, es, cuando menos, dudosa. La ciencia de la economía tiene límites que, tanto por ser una ciencia social (cuyo objeto de estudio es el hombre, en todo o en parte), que usa aritmética, que parece ser adecuadamente representada con formalismos para agentes racionales, etc., podría ser una ciencia distinta en el valor de sus hallazgos, tanto como de la posible integración de sus métodos, a ciencias más exitosamente matemáticas como la física. Este resultado, negativo como podría entenderse, no debería tomarse como tal. La verdad es el valor rector de las ciencias, no la posibilidad de la integración, no el compartimiento de métodos, jerga o incluso intertraducción perfecta de sus hallazgos.

Al respecto de las aplicaciones prácticas de la Economía, en especial a la luz de las tecnologías de la información y el proyecto conocido como inteligencia artificial (fuerte), los teoremas de incompletitud de Gödel inclinan la balanza al lado pesimista de este debate. Aplicaciones (tecnológicas) que puedan detectar patrones de inversión y que, al mismo tiempo, puedan tomar en cuenta cómo su actuar —inteligente o no— afecta y afectará a los mercados, suena bastante menos plausible de lo que uno podría pensar y no sólo lo es de modo inductivo. Es decir, el pesimismo sobre el proyecto de IA-fuerte aplicado a la economía, no sólo proviene de ver y acumular fallos en proyectos concretos, políticos (planificación central) o tecnológicos (planificación central informática): pesimismo inductivo. Sino que la razón por la que estos proyectos podrían estar destinados al fracaso podría ser más fuerte, podría deberse a la naturaleza del hombre y a cómo medimos el valor (no sólo moral sino económico) y, a cómo actuamos a la luz de él, podría ser un fenómeno, por varios frentes, no-computable: el carácter no finitario de nuestros aparatos cognitivos, el carácter nofinitario o complejo de nuestros valores y valoraciones, el carácter complejo que podría emerger de la interacción de todos estos elementos en un ambiente, digamos, silvestre.

Por otro lado, algunos de los resultados positivos de mezclar estos dos temas, podrían ser, aunque no muy halagüeños en el sentido de la tradición utopista, sí podrían serlo en otros sentidos. El potencial educativo que tendría en una población que no sólo carece de la adecuada formación económica y financiera, sino que carece todavía más de elementos de juicio realista para un montón de proyectos políticos. El dinero sí que está controlado y alguien que no sabe bien qué hacer con él, suele no tenerlo. Pero el derecho al voto se otorga de forma que podría ser imprudente a la luz de la falta de educación política y económica del votante promedio. También uno de los efectos positivos que tenemos aquí, es que entendemos bien qué sería que la Economía estuviera GödLim y, por lo mismo, cómo podríamos trascender esas limitaciones. No es momento ni lugar para hablar de algunas estrategias, pero mencionaré algunas: las hipercomputadoras (o los procesos hipercomputacionales) podrían tener algún rol qué desempeñar en superar las limitaciones de Gödel. Pero también, el hecho de que los seres humanos exhiban unas posibilidades de funcionamiento más allá de los límites de la compatibilidad, podrían por fin echar luz a la idea de que somos entidades creativas y, a su manera, sería una fuente de optimismo económico: podemos superar la pobreza usando nuestros poderes creativos, mismos que parecen ingobernables —no computacionales—, pero abundantes.